Práctica de números enteros

Actividad 1

¿ Cuales de los siguientes números representan enteros negativo?

a.-2                b. 5                 c.-44                       d.55

¿Cuales de los siguientes números representan enteros positivos?

a. 3               b.9                   c.-33                       d. -444


Actividad2

Clasifique los siguientes números en enteros positivos y negativos, utilizando el símbolo correspondiente:

-12, -8, 140, -1000, 0, -98, 89, -8, -78, 78, 183, -1

Actividad3

¿ Cuales de los siguientes enunciados son correctos?

a.  4 <  3           b. -8  < 8           c.9 >100

d.  -10000 < 0       e. 1909 <  -1990


Actividad 4

 Determine el valor absoluto de los  numeros.

|-2|=____       |-4|_____
|-9|=____        |3|=____    
 |8|=____     |-17|=____    
|-6|=____     |-78|=____    

Valor absoluto

Como vimos en el este apartado de la Recta numérica , dentro de las propiedades se estableció lo siguiente:

Que la distancia entre el 1 y el cero, es igual a la distancia entre el -1 y el cero

El valor absoluto es la distancia entre un punto y el cero.

Como vemos entre el cero y el 1 hay una unidad, y entre el cero y el -1 también hay una unidad de distancia.

El valor absoluto se denota con dos líneas paralelas que cubren a el número, de esta forma: |-1|

Entonces:

    |-1|=1

    |1|=1

De forma general se establece el concepto matemático de valor absoluto

1.Si |x|=x, si x es entero negativo.

Ejemplo:

|3|=3, |4|=4, |1000|=1000

2. |x|=-x, si x es entero negativo. Esto quiere decir que el valor absoluto de un número negativo siempre es positivo.

Ejemplo:

|-3|=-(-3)=3

|-4|=-(-4)=4

|-600|=-(-600)=600

Nota: esto aplica la ley de signos. Específicamente producto de números negativos.

Relaciones de orden

Una vez estudiada la recta numérica podemos pasar a estudiar un poco lo que son las relaciones de orden.

Los símbolos de orden son los siguientes:

< menor que 

> mayor que

= igual que 

Nota: donde apunta el vértice debe estar el valor menor y donde está abierto el ángulo debe estar el mayor.

Apoyándonos en la recta numérica

podemos apreciar mejor la ubicación de un número y cual esta antes o después de él.

hay que tener en cuenta que, por ejemplo, agarrando de referencia al 0, -4 es más pequeño que el 0 y 1 es más grande que el 0.

Esto se puede representar mediante las relaciones de orden de la siguiente manera:

-4 < 0 < 1

Se lee, 0 es mayor que -4 y menor que 1.

Ejemplo:

Enumere los números mayores que -1 pero menores que 4.

-1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4

Números enteros en la recta numérica

Como hemos visto en la sección de números enteros, estos son los opuestos aditivos de los números naturales, y en la sección de la recta numérica se establece como acomodar los numero enteros.

Para recordar vamos a ver la representación de una recta numérica:

Como podemos apreciar la línea se extiende infinitamente hacia la derecha, queriendo decir que los números naturales siguen.

Pero también vemos que hacia la izquierda también se extiende, esto es debido a que los números enteros negativos se encuentran en esa dirección.

Como podemos ver en la siguiente imagen:

Aquí podemos notar ciertas propiedades importantes:

1. El cero es el centro, o el punto de partida

2. Los enteros positivos están a la derecha del cero de forma ascendente

3. Los enteros negativos se dirigen hacia la izquierda de forma ascendente.

4. Distancia entre el 1 y el cero, es igual a la distancia entre el -1 y el cero

5. Los números negativos son más pequeños que los positivos.

Por ejemplo -9 es más pequeño que 1

6. Los números negativos entre más lejos del cero se encuentren más pequeños son. Por ejemplo el -1 es mas grande que -3

El saber la distribución de los números enteros en la recta numérica me permite poder entender algunas propiedades interesantes como lo muestra el siguiente ejemplo:

Se da un conjunto de números:

1, -3, 4, -1, 0

Al ordenarlos de menor a mayor se escribe:

-3,-1,0,1,4

Al ordenarlos de mayor a menor se escribe:

4,1,0,-1,-3

El número más pequeño es: -3

El número más grande es: 4

¿Qué es una recta numérica?

Como su nombre lo dice es una figura geométrica en forma de recta.

Las siguientes imágenes contienen rectas:

Un cuadro, sus lados son líneas rectas

En un cancha de algún deporte marcan líneas rectas de color blanco

Algunas carreteras son en líneas recta, y las líneas amarillas también son rectas.

Un lápiz tiene la forma de una recta.

Una pizarra tiene lados en forma de recta.

Actividad:

¿Qué otras cosas puedes identificar que tiene una recta?

¿Que es una recta numérica?

En matemática para poder entender muchas propiedades de los números si se utiliza la recta numérica.

A continuación vamos a mostrar que es una recta numérica para el estudio en matemática.

1.Esta tiene la siguiente forma:

Como podemos apreciar esta recta tiene flechas que indican que se extienden en ambas direcciones infinitamente.

2.La recta siempre está marcada de la siguiente forma:

Se marca para poder establecer una escala numérica de un punto a otro.

3.La escala numérica que se va a utilizar para efectos de estudio es la de los números Naturales, por ejemplo:

Se invita al lector a buscar otras escalas numéricas.

Esta recta que se presentó anteriormente es la recta numérica, de aquí en adelante se trabajará con ella.

Números enteros

Antes de comenzar a estudiar los números enteros, es importante recordar qué son los números.


Los números son símbolos que nos permite representar una cantidad determinada tanto de forma escrita como oral.
Los números naturales que ya conocemos 1, 2, 3.... son los que nos permiten decir que cantidad hay de cada cosa; sin embargo, hay situaciones en la vida cotidiana que no pueden ser representadas con los números naturales.

Por ejemplo: 

- Representar una deuda.
- Temperaturas bajo cero.
- Profundidades.
- Entre otras.

Otra de las necesidades de estudiar estos números es que con los naturales no es posible realizar restas donde el minuendo es menor.

Todo esto trae consigo la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales introduciendo un nuevo conjunto que es el de los números enteros.

Los números enteros son aquellos que tienen los números naturales: 

Además dentro de los números enteros se encuentran los opuestos aditivos de los números naturales.

Por ejemplo: 

En este caso ¿el resultado sería un número entero?

Como se dijo antes los números naturales tienen opuestos aditivos y en el siguiente cuadro los representaremos:

En 0 no tiene opuesto, pues es el neutro aditivo.



Actividad

En 1 y su opuesto aditivo, -1, cumplen que:

Los números negativos.

Los números que son opuestos aditivos de los naturales se les conoce con el nombre de números negativos.

Estos son los números negativos: {-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,...}.

Los números enteros.

Ahora bien los números enteros son aquellos que contienen los números naturales, números negativos y el cero.

El siguiente diagrama, muestra el conjunto de los números enteros.

Es decir:

Z={...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 

Dado que en conjunto contiene al conjunto de los naturales, los naturales son un subconjunto de los enteros.

n c Z

Por ejemplo:

-2 es entero negativo

8 es entero positivo

Otro ejemplo:

(tomado del plan de matemáticas del mep pag 282)

La temperatura promedio en la ciudad de San José es de 25 °C durante la estación lluviosa. Ciudades como Nueva York pueden experimentar hasta 30 °C menos. Describa a qué temperatura puede estar dicha ciudad. 

Este es un ejemplo típico en el los números no naturales no son suficientes para resolverlo.

Supongamos que lo siguiente es un termómetro:

Nos indican que Nueva York esta a 30°C menos que San José por lo que se forma la resta

25-30 = -5

  Nota:  Para verificar esto note que de 0°C a 25°C contando de 5 en 5 hay 25 y si le suma 5 más se completan los 30°C de Nueva York.

Video introductorio